Функции Бесселя

Функции Бесселя

Функции Бесселя, являющиеся решениями линейных дифференциальных уравнений вида z 2 y" + zy'+ (z 2 - п 2 )у = 0, широко используются в анализе и моделировании волновых процессов. В системе Mathematica к этому классу относятся следующие функции:

• Bessell[n, z] — модифицированная функция Бесселя первого рода I(n, z);
• BesselJ[n, z] — функция Бесселя первого рода J(и, z);
  
  
  
• BesselK[n, z] — модифицированная функция Бесселя второго рода К(п, z);
• BesselY[n, z] — функция Бесселя второго рода Y(n, z).

Соотношения между этими функциями хорошо известны. Следующие примеры показывают вычисление функций Бесселя.

Ввод (In)	Вывод (Out)
Bessell[0,l.]	1.26607
Bessell[3,l.]	0.0221684
Bessell[l,2.+3.*I]	-1.26098 + 0.780149 I
Bessell[2,2.+3.*I]	1.25767 + 2.31877 I
BesselK[2,2.+3.*I]	-0.0915555 + 0.0798916 I
BesselY[2,2.+3.*I]	-2.3443 + 1.27581 I
BesselY[2,2.+3.*I]
N[BesselJ[l,0.5]]	0.242268
N[BesselJ[l, 2+1*3]]	3.78068- 0.812781 I

Приведем также пример на вычисление производной от функции Бесселя:

D[BesselJ[l, x], (х, 2}]

1/2 (-BesselJ[l, x] +

1/2 (-BesselJ[l, x] +BesselJ[3, x]) )

Нетрудно заметить, что результат в данном случае также представлен через функции Бесселя.

В другом примере — вычислении интеграла от функции Бесселя — результат выражается через гипергеометрическую функцию:

Integrate[BesselJ[2,x],x]

1/24 x3 HypergeometricPFQ [ { 2/3 }, { 5/2,3}, -x2/4]

На рис. 6.7 показаны графики функций Бесселя Bessell и BesselJ первых четырех порядков.