Преобразование полиномов в схему Горнера — Horner

Подпакет Horner в системе Mathematica 4 реализует хорошо известную схему вычисления полиномов — схему Горнера. При ней операции возведения в степень заменяются операциями умножения. Для этого служит функция Horner:

Horner [poly] — устанавливает полином poly в форму Горнера;
Horner [poly, vars] — устанавливает полином ряда переменных vars в форму Горнера.

Примеры преобразования полиномов в схему Горнера:

<<NumericalMath`Horner`

Horner[ 11 х^3 -4 х^2 + 7 х + 2 ]

2+ х (7 + х (-4 + 11х))

Horner[ а х^3 + bх^2 + с х + d, х ]

d+ х (с + х (b + ах))

Horner[ х^(1/3) + х + х^(3/2) ]

Схема Горнера может использоваться и для отношения полиномов:

Horner [polyl/poly2] и Horner [polyl/poly2, varsl,vars2] .

Эти функции можно использовать для улучшенного представления аппроксимации Паде, что демонстрирует следующий пример:

<<Calculus ` Fade`

approx = Padef Exp[Log[x] -х] , {х, 0, 3, 2}]]

Horner[ approx ]

Переход к схеме Горнера дает ряд преимуществ перед обычным вычислением полиномов: уменьшается время вычислений, повышается их точность, уменьшается вероятность расхождения численных методов, в которых используются полиномы. В системе Mathematica 3 подпакет Corner находился в пакете расширения NumberMath, что было не вполне логично.