Работа с выражениями

Одним из важнейших понятий системы Mathematica является математическое выражение, или просто выражение — ехрг (от английского слова expression). Работа с математическими выражениями в символьном виде — основа основ символьной математики.

Выражение может быть представлено в общепринятом виде (как математическая формула или ее часть) с помощью операторов, например, а* (х + у + z) или х ^ у, оно может задавать и некоторую функцию f [х, у,...] или их комбинацию. Наряду с такой формой существует так называемая полная форма представления выражений, при которой основные арифметические операции задаются не операторами, а только соответствующими функциями. Ее примеры даны ниже.

Выражение ехрг	Полная форма ехрг	Комментарий
х + у + z	Plus [х, у, z]	Сложение
х у z	Times [x, у, z]	Умножение
х^n	Power [x,n]	Возведение в степень
{a,b,c}	List [a,b, c]	Создание списка
a->b	Rule [a,b]	Подстановка
a=b	Set [a,b]	Присваивание

Для вывода выражения ехрг в полной форме используется функция FullForm [ехрг ]. Примеры перевода выражений в полную форму:

1+х^2+(у+г)^2+2

3 + х2 + (y+z)2

FullForm[%]

Plus[3, Power[x, 2], Power[Plus[у, z] , 2]]

Integrate[a*Sin[b*x]*Exp[-c*x],x]

a [(be-cxCos[bx])/{-ib + c) (ib + c)-( ce+cxSin[bx]) \(-ib + c) (ib + c) ]

FullForm[%]

Times[a, Plus[Times[-1, b, Power[Plus[Times[Complex[0, -1], b], c] , -1], Power[Plus[Times[Complex[0, 1], b], c] , -1], Power[E, Times[-l, c, x] ] , Cos[Times[b, x] ] ] , Times[-1, c, Power[Plus[Times[Complex[0, -1], b] , c], -1] , Power[Plus[Times[Complex[0, 1] , b], c] , -1] , Power[E, Times[-1, c, x] ] , Sin[Times[b, x]]]]]

Для определения типа выражения служит функция Head [ехрr ]. Применительно к числовым выражениям она возвращает тип результата, как показано в приводимых ниже примерах.

Ввод (In)	Вывод (Out)
1+2+3	6
Head[%]	Integer
Head[123/12345]	Rational
Head[2*0.25]	Real

Следующие примеры поясняют действие функции Head для символьных выражений:

Head[f [x,y, z] — возвращает f;
Head[a+b+c] — возвращает Plus;
Head[x ^ n] — возвращает Power;
Head[ {a, b, с} ] — возвращает List.

Другая пара примеров показывает применение Head в списках с разнородными выражениями:

{Head[l + 2], Head[аЬ] , Head[ 5/7], Headfl + 3i], Head[e2]}

{Integer, Times, Rational, Complex, Power}

Head/@{l, 1/3, 2.1, 2 + 3i, x, f [x] , {1, 2, 3}, a+b, a/b}

{Integer, Rational, Real, Complex, Symbol, f, List, Plus, Times}

Обратите внимание на второй пример — в нем функция Head применяется к каждому выражению списка, что дает более компактную запись.