Функции преобразования тригонометрических выражений

Функции преобразования тригонометрических выражений

Хотя представленные выше функции иногда применимы для тригонометрических выражений, для последних есть ряд специальных функций, дающих более надежные результаты в ходе преобразований тригонометрических функций. В названии этой группы функций имеется слово Trig. Начнем с функции Trig-Expand [expr ], которая обеспечивает расширение выражения ехрг, содержащего тригонометрические и гиперболические функции. Представленные ниже примеры иллюстрируют работу этой функции:

TrigExpandfSin[а+b]]

Cos[b] Sin[a] +Cos[a] Sin[b]

TrigExpand[Cos[3*x]] TrigExpand[Cos[3*x]]

Cos[x]3-3Cos[x] Sin[x]2

TrigExpand[Sinh[2^x]]

2Cosh[x] Sinh[x]

TrigExpand[Sin[Cos[Tan[x]^2]]]

Cos[1/2Cos[Tan[x]2] + 1/2ISin[Tan[x]2]

Sin[1/2Cos[Tan[x]2] - 1/2ISin[Tan[x]2]

Cos[1/2Cos[Tan[x]2] - 1/2ISin[Tan[x]2]

Sin[1/2Cos[Tan[x]2] + 1/2ISin[Tan[x]2]

TrigExpand[Sin[2*x]-Cos[3*x]^2]

1/2 Cos[x]6/2+2Cos[x] Sin[x] + 15/2Cos[x]4Sin[x]2

15/2Cos[x]2/Sin[x]4+Sin[x]6 /2

TrigExpand[Sin[2 ArcCoth[t]]]

2 Cos [ArcCoth[ t] ] Sin[ArcCoth[ t] ]

Следующие две функции обеспечивают взаимные преобразования экспоненциальных и тригонометрических выражений:

• TrigToExp [expr] — преобразует тригонометрические выражения к экспоненциальному виду;
• ExpToTrig [expr] — преобразует экспоненциальные выражения в тригонометрические.

Примеры применения этих функций:

TrigToExp[Cos[z]]

1/2( EIz+EIz)

ExpToTrig [ % ]

Cos [ z]

f := Sinh[z] + Cosh[z] TrigToExp[f]

Ez

ExpToTrig[%]

Cosh[z] + Sinh[z]

TrigToExp[Sin[x]/Cos[y]]

I (E-IX- EIX)/(E-IX+ EIX)

ExpToTrig[%]

Sec[y] Sin[x]

Приведем еще две функции:

• TrigFactor [expr] — раскладывает на простые множители тригонометрическое выражение ехрr;
• TrigFactorList [expr] — раскладывает тригонометрическое выражение ехрг на списки с термами выражения.

Следующие примеры показывают применение этих функций:

expr = TrigExpand[Sin[a + b]^3]

3/4Cos[b] Sinfa] - 3/4 Cos [a]2 Cos [b]3 Sin [a] +

1/4 Cos[b]3Sin[a]3 + 3/4 Cos[a] Sin[b]-

3/4Cos[a]3Cos[b]2Sin[b] +9/4 Cos[a] Cos[b]2Sin[a]2 Sin[b] +

9/4 Cos[apCos[b] Sin [a] Sin[a]2-3/4 Cos[b] Sin[a]-3 Sin[b]2 +

1/4Cos[a]3Sin[b]3-3/4 Cos[a] Sin[a]2Sin[b]3

TrigFactor[expr]

Sin[a+b]3

TrigFactorList[expr]

{{1, 1}, {Sin[a+b] , 3}}

TrigExpand[Cosh[Sin[x*y]]]

Cos[1/2 Cos[xy] - 1/2 ISin[xy]] Cos[1/2 Cos[xy] + 1/2 ISin[xy]]

Sin[1/2Cos[xy] -1/2 ISin[xy]] Sin[1/2 Cos[xy] + 1/2 ISin[xy]]

TrigFactorList[%]

{{1, 1}, {Cosh[Sin[xy]], 1}}

Наконец, функция TrigReduce [expr] упрощает выражения с произведениями тригонометрических функций.

Примеры применения этой функции:

TrigReduce[2*Sin[x]*Cos[у]]

Sin[x- у] + Sin[x + y]

TrigReduce[Cosh[x]*Tanh[x]]

Sinh[x]

TrigReduce[Sin[x]^2 + Cos[x]^2]

1

TrigReduce[Sin[x]*Cos[x]]

1/2 Sin[2x]

TrigReduce[Sinh[x/y]^3]

1/4 (-3Sinh[x/y] + Sinh[3x/y])

Применение рассмотренных функций расширяет круг задач, решаемых с применением символьных преобразований.