Регрессия и визуализация ее результатов

Еще один широко используемый вид аппроксимации — регрессия. Она заключается в нахождении параметров некоторой функции регрессии, при которой график этой функции проходит в «облаке» узловых точек, обеспечивая наименьшую среднеквадратичную погрешность их представления. В отличие от интерполяции, при регрессии найденная функция не дает точного значения ординат в узловых точках — она просто минимизирует погрешность вычислений в этих точках.

Для решения задач регрессии используется функция ядра

Fit: Fit[data, funs, vars]

Эта функция ищет приближение для списка данных data методом наименьших квадратов в виде линейной комбинации функций funs переменных vars. Данные data могут иметь форму {{xl, yl,..., f1}, {х2, у2,..., f2 },...}, где число координат х, у,... равно числу переменных в списке vars. Также данные data могут быть представлены в форме {f 1, f 2, =..} с одной координатой, принимающей значения 1, 2... Аргумент funs может быть любым списком функций, которые зависят только от объектов vars.

Следующие примеры показывают приближение исходных данных степенным полиномом и линейной комбинацией двух функций:

Fit[{{0, 0.9}, {2, 8.099999999999999), {3, 17}, {4, 33}}, {а, х, х2}, х]

0. 997273-1.40864 х+2.33409 х2

Fit[{{0, 0.9}, {2, 8.099999999999999}, {3, 17}}, {х2, Ехр[х], х} , х]

0.9ех + 2.89276х- 1.08392 х2

Здесь в первом примере выполняется полиномиальная регрессия со степенью полинома, равной 2. Максимальная степень на 1 меньше числа пар исходной зависимости (в нашем случае их 4) — при такой степени регрессия вырождается в обычную полиномиальную аппроксимацию, которая рассматривалась ранее.

Рисунок 5.14 показывает несколько иной путь проведения полиномиальной аппроксимации — исходные данные заданы объектом-списком data.

В конце документа рис. 5.14 показано построение графика аппроксимирующего полинома второй степени и точек исходных данных. Заметно, что при регрессии график полинома проходит в середине «облака» исходных точек и не укладывается на них точно.

В уроке 12 будут рассмотрены дополнительные функции для проведения регрессии. Они входят в различные пакеты расширения системы Mathematica 3/4.